Travaux de recherche
Vous trouverez ici tout ce qui concerne la thèse que j’ai préparée et soutenue à Rennes en 2008.
J'ai soutenu une thèse de doctorat à l'université de Rennes 1 en 2008, sous la direction de Marie-Françoise Roy, intitulée :
Certificats
de
positivité et minimisation polynomiale dans la base de
Bernstein multivariée
(manuscrit, présentation lors de la soutenance)
(manuscrit, présentation lors de la soutenance)
Résumé
:
L'étude des polynômes réels en plusieurs variables est un problème classique en géométrie algébrique réelle et en calcul formel. Plusieurs questions sont naturelles : positivité éventuelle, calcul du minimum...
Nous nous proposons, dans cette thèse, d'étudier ces questions dans le cas particulier où l'étude est menée sur un simplexe de $\mathbb{R}^k$.
L'outil essentiel dans notre travail est la base de Bernstein, plus adaptée à la situation que la traditionnelle base des monômes. Elle jouit notamment de propriétés de positivité et d'encadrement essentielles à notre étude.
Elle permet tout d'abord d'obtenir un algorithme décidant si un polynôme $f$ est positif sur un simplexe $V$, et le cas échéant, fournissant une écriture de $f$ rendant triviale cette positivité : on parle de certificat de positivité.
En outre, elle est à l'origine d'un algorithme de minimisation polynomiale sur un simplexe. Ces deux algorithmes sont certifiés, et l'étude de leur complexité est menée dans cette thèse. Ils ont également fait l'objet d'implémentation sur ordinateur.
Articles / Logiciel
- Une
borne effective sur l'écart entre le polytope de contrôle et
le graphe d'un polynôme réel sur un simplexe
(Comptes rendus - Mathématique 347 (2009), pp. 1331-1336) - A
bound on the minimum of a real positive polynomial over the
standard simplex (with S. Basu and M.F. Roy)
(MEGA 09 Effective Methods in Algebraic Geometry) - Logiciel : Certificates of Positivity in SARAG
(included in the computer algebra system Maxima) (with F.
Caruso)
(MEGA 09 Effective Methods in Algebraic Geometry) - Certificates of positivity in the simplicial Bernstein basis (submitted)
Exposés / Séminaires
- Théorème de Schmüdgen : une preuve algébrique (séminaire de DEA, 2004)
- Polynômes positifs, sommes de carrés ; application à l'optimisation (mémoire de DEA, 2004)
- Minimisation et théorie des moments, d'après Lasserre (séminaire de Calcul Formel, Rennes, 11/02/2005)
- Nonnegative polynomials modulo their gradient ideal (talk at the Algebra seminar, University of Konstanz, 06/06/2005)
- Positivité et sommes de carrés en géométrie algébrique réelle (Rencontres Doctorales de l'Ouest 2005, Nantes, 20/11/05)
- Certificats de positivité et minimisation polynomiale dans la base de Bernstein multivariée (JNCF, Luminy, 24/10/08)
- Certificates of positivity and polynomial minimization in the multivariate Bernstein basis (SAGA, Castro Urdialès, 11/08)